Stelling van Casey

$t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=t_{13}t_{24}$

Animatie: de stelling van Ptolemaeus als bijzonder geval van de Stelling van Casey.

De stelling van Casey is een stelling uit de Euclidische meetkunde, die geldt als generalisatie van de stelling van Ptolemaeus. De stelling is vernoemd naar de Ierse wiskundige John Casey (1820-1891).

Formulering van de stelling

Laat $O$ een cirkel zijn, en $O_{1},O_{2},O_{3}$ en $O_{4}$ vier elkaar niet snijdende cirkels die in $O$ liggen, en in volgorde raken aan $O$. Laat vervolgens $t_{ij}$ de lengte zijn van de uitwendige gezamenlijke raaklijn aan $O_{i}$ en $O_{j}$. Dan geldt:

$t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=t_{13}t_{24}$

• De stelling is ook geldig als niet alle vier de cirkels binnen $O$ liggen. Als een cirkelpaar dan aan weerszijden van de cirkel ligt, dan moet voor $t_{ij}$ de lengte van de inwendige in plaats van de uitwendige raaklijnen worden genomen.
• Voor $O$ kan ook een lijn worden genomen, als ontaarde cirkel
• Vaak formuleert men de stelling als

$t_{12}t_{34}\pm t_{14}t_{23}\pm t_{13}t_{24}=0$

zodat de volgorde van de cirkels niet van belang is.

• De stelling van Ptolemaeus is een bijzonder geval met punten voor $O_{1},O_{2},O_{3}$ en $O_{4}$ (als ontaarde cirkels) waarbij die punten op de cirkel $O$ liggen.
• Het omgekeerde van deze stelling is ook juist, uit het voldoen van de raaklijnen van vier cirkels aan de vergelijking kan worden afgeleid dat er een gemeenschappelijke raakcirkel is.

Bronnen, noten en/of referenties

• Bottema, O. (1987): Hoofdstukken uit de elementaire meetkunde (2e editie), Utrecht: Epsilon uitgaven.
• Klingens, D. (1999): Stelling van Casey.